En los ejemplos anteriores se pedía identificar la superficie dada por unas ecuaciones paramétricas. INTEGRALES DE SUPERFICIE 1/22 1. una representación dado por la función vectorial. Se encontró adentro – Página 150Esta fórmula transforma una integral de volumen en otra de superficie. Aunque enunciada sin demostración, y continuando nuestro símil hidrodinámico, es fácil darse cuenta de que div E dt representa el flujo que ha manado en la unidad de ... gxyz (, , ) Encontrar el a´rea de la superficie definida como intersecci´ on del plano x + y + z = 1 olido x2 + 2y 2 ≤ 1. con el s´ Soluci´ on La superficie dada se puede parametrizar por x = u cos √v S: y = (u/ 2) sen v √ (0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π), z = 1 − u cos v − (u/ 2) sen v . Superficies. Depois de estudar as integrais de linha, as integrais duplas e as integrais triplas, você pode reconhecer essa ideia de picar algo e . 3.6- Integrales de superficie Calcule el área de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y z = 1. GU ´ IA 11 Integrales de Superficie BAIN083 C´alculo en Varias Variables para Ingenier´ ıa 1. Esto es el análogo en dos dimensiones de las integrales de línea. A la expresión S: F(x,y,z) = 0 se denomina una representación implícita de la superficie S. También es posible hallar una representación explícita de la superficie S de la forma: a la cual siempre es posible asociarle una representación implícita. Se definimos as Integrais de Linha usando a parametrização de curvas, agora usaremos as parametrizações das superfícies. Cocina Integral posted on Instagram: "Flow 5, uno de los últimos lanzamientos de Frecan @frecan.es⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Flow 5, one of the…" • See all of @cocinaintegral_es's photos and videos on their profile. Definición 2.1 (Integral de Superficie para . Se encontró adentro – Página 405Si puedes , traza también la gráfica de la superficie . c ) Usa tu graficadora o el evaluador de integrales de tu computador para hallar numéricamente el área de la superficie . 1. y = tan x , 0 < x < r / 4 ; eje x 2. y = x2 , 0 < x < 2 ... Ejemplo (parte 3): el último tramo, Integral de superficie. Se encontró adentro – Página 358... del por la superficie campo la Ω suma) del de área, producto vectorial, a Σ lo exterior dσ, largo de con continuo de la la al divergencia toda integral volumen y la derivable superficie ∫ Ω. Ω del (es La campo g, decir, ... In mathematics, particularly multivariable calculus, a surface integral is a generalization of multiple integrals to integration over surfaces.It can be thought of as the double integral analogue of the line integral.Given a surface, one may integrate a scalar field (that is, a function of position which returns a scalar as a value) over the surface, or a vector field (that is, a function . en forma análoga si u=$u_{0}$ se mantiene constante $r_{0}( u_{0},v)$ es una función vectorial de un único parámetro que describe una curva $C_{2}$ en la superficie S. $(x(u_{0}, v_{0}),y(u_{0},v_{0}),z(u_{0},v_{0}))$, $r_{0}(u_{0},v_{0}) =r_{u}=\frac{\partial x(u_{0},y_{0})}{\partial u}i+\frac{\partial y(u_{0},v_{0})}{\partial u}j+\frac{\partial z(u_{0},v_{0})}{\partial u}k$. Siguiente lección. INTEGRALES DE SUPERFICIE. ( , , )= , y la superficie dada en cada uno de los siguientes incisos: La superficie S es el conjunto de puntos (x,y,z) dado por: $r (w,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k$ , que se llama una superficie paramétrica. 11. En este artículo nos enfocamos en los detalles. Para ejemplos y soluciones de integración básica, la calculadora de integrales de línea es muy eficaz. Integrales de superficie. Una superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano R3 que está definida por una ecuación paramétrica con dos parámetros de representación paramétrica es la forma más general para especificar una superficie. Se encontró adentro – Página 26Si L es un camino cerrado, la integral se convierte en una integral cerrada, la cual se representa as ́ı: ∮ V.dl. ... La integral ∫∫ S ∫∫ V.dS = V.ˆun dS, S se conoce como integral de superficie. Esta expresión se puede abreviar ... Soluci ́on Como la superficie corresponde al gr ́afico de la funci ́on z = f(x, y) = 1 − x , cuyo dominio es el tri ́angulo determinado por las rectas: y = 0 , y = x , x . 3- Hallar ecuaciones Paramétricas para las E o ponto é que eu posso lhe dar as ferramentas que precisamos para entender o que uma integral de superfície é. Então vamos pensar, vamos desenhar o plano st, e depois ver como é transformada nesta superfície r. Então, vamos fazer isso. Ejemplo (parte 3) Práctica: Integrales de superficie para encontrar el área de la superficie. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES En los ejercicios 11-15, calcula ∬ para la función f y la superficie S dada. Práctica: Encuentra elementos de área. Superficie. donde S es la parte del plano x + z = 1 , acotada por los planos z = 0 , y = 0 y x = y . Así como la integral de una función positiva de una variable se interpreta como el área entre la gráfica de la función y el eje , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene el dominio de la función. Integral de un campo vectorial. Se encontró adentro – Página 126Así, la ecuación integral de cantidad de movimiento, teniendo en cuenta su carácter vectorial, tomará la forma: VC ij r ... es partir de la ecuación en modo integral y transformar las integrales de superficie en integrales de volumen. Sea f: S ⊂ 3 → una función continua definida en S (un campo escalar en S). Se encontró adentro – Página 103Ahora bien , podemos convertir la integral de superficie del primer miembro de la ecuación anterior en una integral de volumen usando el teorema de la divergencia del cálculo vectorial , y de la igualdad de dos integrales de volumen ... Find answers and explanations to over 1.2 million textbook exercises. Se conoce que una superficie S se puede representar en la forma S: F(x,y,z) = 0, por ejemplo: $2x^2+3y^2-z=0$ ,donde x, y, z son coordenadas cartesianas de $R^3$ , además $2x^2+3y^2-z = 0$ es una superficie de nivel cero de la función escalar F(x,y,z ) =$2x^2 + 3 y ^2 - z$ . Solo es Sea S una superficie dada por: $r(u,v) = x(u,v)i +y(u,v)j+z (u,v)k$sobre una región abierta D en la que x, y, z tiene tienen derivadas parciales continuas, las derivadas parciales de r con respecto a u y v se define así: cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial interpretada geométricamente. Ejemplo de área de la superficie. Integral de superfícies e o Teorema de Stokes. Ejemplo. Ahora el problema es inverso, es decir dada la ecuación de una superficie se, tiene que encontrar las ecuaciones paramétricas, un caso sencillo es cuando una superficie es. Si entiendes las integrales dobles, y entiendes cómo calcular el área de superficie de una superficie . 4 de junho de 2021. Sean una superficie parametrizada por : → y : → un . Se encontró adentro – Página 55Consideremos un volumen finito V de cierta forma , la superficie del cual designaremos por S. Estamos ya familiarizados con la noción de flujo total 0 saliente de S. Éste es el valor de la integral de superficie de F extendida a toda la ... Integrales de campos escalares y vectoriales sobre una superficie. Se encontró adentro – Página 274INTEGRAL DE SUPERFICIE 274 la integral de línea se define como så v • dl = lim 2 V , • A ! Un ejemplo de integral de línea es el caso de una fuerza F actuando sobre una partícula en el campo de la fuerza . La integral de línea BF • dl ... Cálculo Multivariable, MI2-FIUSACIng. Calcule las integrales de superficie siguientes: a. Introducción El objeto del presente tema es el estudio de la integral de superficie. Sabemos que una curva en el plano puede ser representada por una ecuación de la forma: que resulta ser una curva de nivel cero de la función $f( x,y ) =x^2+y^2-1$. También hago 3 ejemplos de como hacer integrales de superficie.===Suscribete a nuestro canal en youtu. por el vector de posición r (u,v) cuando el punto (u,v) se mueve en el dominio D. $sen^2 u(cos^2 v + sen^2 v) + cos^2 u = sen^2 u + cos ^2 u =1$, En los ejemplos anteriores se pedía identificar la superficie dada por unas ecuaciones, paramétricas. La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. 2. Sea S una superficie paramétrica suave r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j+z(u,v )k definida sobre una región abierta D del plano UV, si cada punto de S corresponde exactamente a un punto del dominio D, el área de la superficie S se define como: \[\iint_{S}^{}dS=\iint_{D}^{}||r_{u}xr_{v}||dA\]. Ejemplo 1 (parte 1), Integral de superficie. In mathematics, particularly multivariable calculus, a surface integral is a generalization of multiple integrals to integration over surfaces.It can be thought of as the double integral analogue of the line integral.Given a surface, one may integrate a scalar field (that is, a function of position which returns a scalar as a value) over the surface, or a vector field (that is, a function . Para las superficies que son cerradas consi-dere la orientaci´on hacia afuera. De certa forma, as Integrais de Superfície são generalizações das Integrais de Linha, pois a lógica é análoga. Ejemplo 2 (parte 1), Integral de superficie. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales. Considera una esfera de radio , centrado en el origen. Ejemplo (parte 2), Calcular una integral de superficie. Integrales de superficie Created Date: 12/14/2004 6:46:17 PM Sean x,y,z funciones de u y v continuas en su dominio D del plano uv. Ejemplo de área de la superficie. 31. Etapa 3: somar essas áreas. Universidad T . Calcular una integral de superficie. EG Integral de un campo escalar sobre una superficie. En el artículo anterior, vimos qué pueden hacer las integrales de superficie y cómo las puedes interpretar. el elipsoide y los paraboloides son suaves, mientras que el cono no lo es. Historia. Las ecuaciones $x = x (u,v) , y = y (u,v) , z = z (u,v)$ son las ecuaciones paramétricas de la superficie S. Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r entonces S es recorrida por el vector de posición r (u,v) cuando el punto (u,v) se mueve en el dominio D. $r(u,v) = senu.cosv i+senu.senv j+cosuk$ donde, Para identificar la superficie, utilizaremos identidades trigonométricas con el fin de eliminar ,el parámetro, $x^2 + y^2 + z^2 =sen^2u. Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Definição 5 (Integral de Superfície de Campos Vetoriais) Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor normal unitário n. A integral de superfície de F sobre S é ZZ S F dS = ZZ S F ndS: A integral acima é também chamada fluxo de F através de S . Saber utilizar esta integral para calcular el área de una superficie. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES En los ejercicios 11-15, calcula ∬ para la función f y la superficie S dada. Integrales de Superficie de Funciones Escalares Consideremos una superficie S, parametrizada mediante una función (de clase C 1 e inyec-tiva) ϕ: D ⊂ 2 → 3, ϕ (D) = S y ϕ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Ordenar por: Más votados. De certa forma, as Integrais de Superfície são generalizações das Integrais de Linha, pois a lógica é análoga. Integral de Superfície | Teoremas de Stokes e da Divergência. S (x 2 + y 2 + z 2) dS donde S es la parte del cilindro x 2 + y 2 = 9 entre los planos z = 0 y z = 2, junto con sus discos de arriba y de abajo. Ecuaciones de la recta Funciones Aritmética y composición Secciones cónicas Transformación. Se encontró adentro – Página 15Ejemplo Determina los valores de a Ryne R para los que la integral So * 7 + 212.87 dx es convergente . Solución 6. ... Cálculo de integrales de superficie 1.4.1 . Área de una superficie Sea la superficie z = f ( x , y ) uniformemente ... Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. dada en forma explícita z = f(x,y) su representación paramétrica es: Como$z=f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}$ entonces x e y son los parámetros por lo tanto el cono tiene. indica la . 12 de outubro de 2021. Se encontró adentro – Página 1186DEFINICIÓN Integral de superficie Si R es la región sombra de una superficie s definida por la ecuación f ( x , y , z ) = c , y g es una función continua definida en los puntos de S , entonces la integral de g sobre S es la integral Vf ... Dentro de su estudio y aplicaciones existen diferentes campos y conceptos que deberemos conocer para su aplicación tales como : 1- Representación Implícita y explícita de de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. (a) Grafique S. (b) Calcule el vector normal a S. (c) Calcule ZZ S p x 2 + y 2 dσ. Flujo en 3D. en Educación Unidad 6: Introducción a las integrales múltiples "Las cosas de este mundo no pueden darse a conocer sin el conocimiento de las matemáticas" DA: 63 PA: 58 MOZ Rank: 54 Integral múltiple - Wikipedia, la enciclopedia libre El área de superficie, , de ese giro se puede determinar fácilmente al ser , donde es el radio de revolución, y es la longitud (altura) de la recta que está girando. Superficie. La calculadora de integración por partes es simple y fácil de usar. La tarea: obtener la integral sobre una esfera. Descargue las diapo. Se encontró adentro – Página 2-1672 = f ( x , y ) ds y УdA Figura 4-42 Si G ( x , y , z ) = 1 , la integral de superficie nos proporciona simplemente el área S de la superficie dada . Por medio de integrales de superficie puede resolverse también el problema de ... f. con las condiciones necesarias para definir una superficie simple a través de su conjunto imagen). Se encontró adentro – Página 183Además, la integral de superficie dela vorticidad sobre cada una de las seis caras del paralelepípedo dela Figura, ... Las integrales de línea de la velocidad sobre los perfiles que componen el ala es cero puesto que la velocidad del ... Se encontró adentro – Página 237Integrales de superficie Integrales de superficie 9.1 INTEGRALES DE SUPERFICIE El concepto de funci ́on es demasiado. 99 En este capıtulo... 9.1. Integrales de superficie 9.2. Integrales de funciones escalares sobre superficies 9.3. Se encontró adentro – Página 60( 2-101 ) Asj - oj = 1 Sumamos las integrales de línea alrededor de los contornos de todos los elementos ... El teorema de Stokes convierte una integral de superficie del rotacional de un vector en una integral de línea del vector ... Se encontró adentro – Página 128Integrales de superficies VII . INTEGRAL DE UNA FORMA DIFERENCIAL DE GRADO 2 RESUMEN : Sea D un dominio cuadrable de R ?, F : D E una aplicación de clase ql de D en un espacio vectorial ( o afín ) de dimensión 3 , w una forma ... Calcular una integral de superficie. Nuestra misión es proporcionar una educación gratuita de clase mundial para cualquier persona en cualquier lugar. Ejercicio 12. concepto de integral doble, de igual modo en que la integral En este artículo utilizaré la siguiente convención. Contenidos de la asignatura: Funciones de varias variables reales. Esto es el análogo en dos dimensiones de las integrales de línea. Ası́ mismo, en el capı́tulo 3 se tratan problemas relacionados con el Cálculo Integral vectorial, desde ejemplos de integrales de lı́nea, integrales de superficie e integrales de volumen, hasta llegar a problemas de aplicación de los teoremas integrales de Green, de Stokes y de Gauss. Se encontró adentro – Página 91( a ) Dado un flujo fluido para el cual la velocidad v es diferenciable con continuidad , formular los conceptos de flujo total hacia el exterior y circulación total mediante integrales de superficie e integrales curvilíneas ... $r(x,y) = x i + y j+\sqrt{x^2+y^2k}$ , donde (x,y)varia en todo el plano XY, Otro tipo de superficie fácil de representar en forma paramétricamente es el de las superficies de volumen, concretamente, para representar la superficie generada al girar la gráfica, y = f(x),$a\leq x\leq b$ entorno al eje X, usaremos x=u, y=f(u)cos v, z=f(u)sen v, donde $a\leq u\leq b$ y $0\leq v\leq 2\pi $, $r_{u}=\frac{\partial x(u,v)}{\partial u}i+\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}j+\frac{\partial z(u,v)}{\partial u}k$; $r_{v}=\frac{\partial x(u,v)}{\partial u}i+\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}j+\frac{\partial z(u,v)}{\partial u}k;$. Suave. La integral de superficie Problemas resueltos 1. Es un blog descriptivo sobre la integral de superficie, sus conceptos básicos y una aplicación práctica de un ejercicio determinado. Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie. El valor que obtenemos al resolver la integral es un número real que se utiliza para determinar el valor del volumen del sólido situado de forma vertical sobre el rectángulo R del plano OXY bajo la superficie z=f(x,y) siempre y cuando f(x,y)≥0. Otro tipo de superficie fácil de representar en forma paramétricamente es el de las superficies, de volumen, concretamente, para representar la superficie generada al girar la gráfica. paramétrica, prácticamente ya entiendes las integrales de superficie. Integrales de Flujo. Try our expert-verified textbook solutions with step-by-step explanations. Las integrales de funciones multivariables son herramientas . En matemáticas , particularmente en cálculo multivariable , una integral de superficie es una generalización de múltiples integrales a la integración sobre superficies . por lo tanto cada punto de S está en la esfera unitaria centrada en el origen. Función matemática. Representación Paramétrica de una 5.2.TeoremasdeladivergenciayStokes Teoremadeladivergenciaenelespacio(odeGauss-Ostrogradsky) n n V V Sea V regiónacotadadelespaciocuyafrontera @V esunasuperficie . Integrales de Superficie de Funciones Escalares Consideremos una superficie S, parametrizada mediante una función (de clase C 1 e inyec-tiva) ϕ: D ⊂ 2 → 3, ϕ (D) = S y ϕ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Recordemos la definición de área de una superficie alabeada. Sea S la parte de la superficie del cono: 9 x 2 + 9 y 2 = 4 z 2, comprendida entre los planos z = 3, z = 9. Integrales de superficies Una superficie en el espacio o espacio tridimensional se forma por un conjunto de puntos cuyas coordenadas son independientes. Como en nuestros textos anteriores, se ha buscado equilibrar la teoría, la práctica y las aplicaciones. Vector Normal a una Superficie Paramétrica Integral de superficie. Ejemplo 3 (parte 4), en el último vÃdeo terminamos con estos dos resultados y comenzamos a pensar en lo que significa tomar la derivada parcial de una función vectorial y obtuve estas clases de digamos resultados bizarros ya sabes cuál fue el punto de esto el punto en general es que yo pueda darte las herramientas que tú necesitas para entender qué es una integral de superficie vamos sólo a pensar vamos a dibujar el plano st el plano de los parámetros y ver cómo se transforma en la superficie r vamos a hacer esto entonces vamos a digamos que este es el eje ok este es el eje y decimos que este es el eje lgs y luego vamos a ver que nuestra función vectorial nuestra función de posiciones que tiene valores vectoriales está definida entre ahà bnc digamos por dar lÃmites lÃmites arbitrarios y está t en 13 y de muy bien entonces el área acotada por estos lÃmites esta área desde este rectángulo justo aquà será mapeado será mapeado a la superficie y si tú gráficas todos estos puntos eventualmente obtendrás la superficie déjenme dibujar la superficie en tres dimensiones una superficie tridimensional asà que este es nuestro eje x nuestro eje i y luego este es el eje zeta perfecto y solo como pequeño recordatorio podrÃamos ver algo como esto si nosotros fuéramos digamos a pintar este punto de aquà que pongo con morado es decir cuando tc y ese es a ok y ese punto está indicado por la función rds de verdad asà que este punto de aquà cuando ese es a ips lo matamos digamos a este punto justo aquà no sé cualquiera no entonces como se obtiene de sustituir a hice en esta función y obtenemos el vector que señala a este punto verdad justo allà muy bien ahora digamos que esta lÃnea de aquà digamos si hiciéramos a ese a ese constante constante igualada y variamos t entre 6 de esta lÃnea ok entonces esta lÃnea se manda a la superficie en alguna otra curva digamos la estoy dibujando algunos contornos arbitrarios allà tal vez si cogemos otra constante digamos de igual a c y variamos s entre a y b tendremos esta otra curva que se vea algo asà no lo sé sólo estoy intentando enseñarles un ejemplo entonces este punto de aquà que corresponde a ese igual a b y t igual a c ok corresponde a ese punto que pinte con naranja ok y evaluando r en esos puntos obtengo un vector que apunta hacia y ahora este modo digamos será otro vector que apunta a este otro punto y sólo para obtener una idea de qué se parece voy a terminar haciéndolo un poco más general digamos vamos a tomarnos un punto o una lÃnea medio azulada esto es cuando te vale de iu variamos s entre a y b entonces tenemos que empezar en el punto morado y ahora variamos s tal vez obtenemos algo como esto no lo sé asà que este punto de aquà corresponderÃa a este vector el vector que señala justo a este punto y finalmente finalmente esta lÃnea que tomamos s igual a b y variamos entre 6 d tendremos que ir de este punto morado no no perdón me equivoqué es lo siento en realidad vamos de este punto naranja al verde verdad cogemos s variamos t / 6 d y se parecerá algo como esto asà que nuestra superficie fuimos de este rectángulo muy bonito en el plano ts y obtuvimos al transformarlo a una superficie medio local incluso podrÃamos dibujar algunas otras cosas por aquà digamos algún valor arbitrario de de bs digamos vamos a tomar un nuevo color vamos a hacerlo en blanco asà que digamos que mantuviéramos ese constante y variamos t esto se verÃa de esta forma y en la superficie se verÃa bueno no sé a lo mejor quizás se vea como algo de este estilo no asà que puedes tener una idea de cómo se verÃa la superficie ahora dado esto quiero que piense sobre cómo serÃan estas cantidades y cuando vi y quiero que cuando visualicemos esto seamos capaces de usar los resultados que hemos visto en los vÃdeos anteriores para hacer algo que yo creo que es bastante útil que vamos a tomar arbitrariamente alguna s y una t asà que digamos este serÃa el punto este serÃa el punto déjenme elegirlo aquà digamos este que estoy pintando el punto ese combate muy bien asà que si pusiéramos estos valores esto me lo mapea y bueno quiero pintarlo de tal suerte que sea consistente digamos que lo mapea de este lado no cerquita del morado muy bien asà que aquà está r de ese combate para algún aceite particulares digo podrÃa ponerle otro otro nombre pero bueno en fin podrÃa llamarles x com y entonces este punto serÃa rx y el punto es que se matarÃa a este punto de aquà asà que este ere es la que estamos diciendo ahora vamos a ver qué pasa si tomamos digamos que pasa si nos movemos en la dirección de ese es decir digamos que aquà está ese y ahora vamos a movernos tantito por una diferencial una diferencial un pequeñÃsimo cambio de sà asà que esto serÃa ese más un cambio muy pequeño en ese y entonces tendrÃamos el punto déjenme hacerlo con un mejor color digamos en amarillo tendrÃamos el punto s más del más una diferencial de ese coma ajá combate donde la diferencial es un cambio muy pequeño y que es como lo vamos a mapear aquà bueno si aplicamos este punto a través de la función vamos a obtener otro en la superficie que más o menos se ve asà por aquà este justo de aquà es r de ese más delta de ese combate eso es lo que es y ahora esto es cuando nos movemos en ese en un cambio muy pequeño esta distancia aquà lo podemos entender como desde un cambio súper pequeño y cuando lo veamos entonces lo ponemos a través de nuestra función vectorial y aquà está déjenme la copio y la pegó para que tengamos siempre muy presentes de qué es lo que estamos hablando ok ahà está déjenme ponerla justo ahà asà que aquà ya queda más claro de qué es lo que estamos pasando tomamos una pequeña un pequeñÃsimo cambio en el punto azul de aquà que es ese combate y obtuvimos un vector que apuntaba al r de ese combate en la superficie asà que cuando agregamos un de ese a los valores en donde se encuentra la s obtuvimos este punto amarillo y bajo la función es un vector que apunta ahà asà que regresemos a los resultados de la última presentación o del último vÃdeo esto que es es rds de ese combate ok bueno eso es esto de aquà es justo este punto es el vector que apunta a esa posición ok y el otro que subraya en azul es el punto azul justamente que pinte ahà esto es básicamente esto es básicamente la diferencia de dos vectores ok es decir estamos hablando del vector que apunta el vector que apunta al hacer la resta es este vector verdad el que apunta del azul al amarillo se ve justo asà asà que esto es justo el vector que pintamos y tiene sentido verdad este vector azul más el vector naranja ajá nos da el vector amarillo que es esta suma lo vemos como un triángulo ahora vamos a hacer lo mismo pero en la dirección de t digamos se me están acabando los colores pero vamos a tomar otro a ver volvamos al rosa o quizás al magenta asà que si tengo aquà mi punto de ese combate ahora agregamos un poquito en la dirección dt es decir vamos a agregar un una d es una vete perdón muy pequeña un cambio muy pequeño enter y ese es el punto de ahà verdad esta distancia es un dt que lo puedes ver de esta forma ok y ahora si introducimos ese punto morado en nuestra función r lo que vamos a obtener es un punto por aquà verdad sobre la superficie quizás deba dibujarlo por aquà es un vector que apunta a ese punto ok se mata a ese vector muy bien ahora por el mismo argumento que hicimos del lado s este este punto o este vector ok este vector que es el r con rds perdón de coma temas de t es exactamente este de acá arriba ok que como ya vimos es una diferencia y entonces estamos hablando del vector que apunta del azul al morado perdón al magenta ok otra vez esto espero o sea un poquito de repaso para la cuestión de sumas y restas de vectores lo voy a pintar ahora en blanco esto va a ser justo lo que estamos escribiendo del lado derecho y que estoy en marcando en blanco ahora como ya puedes imaginar si tomas el vector azul más el vector blanco te da el vector morado verdad y tiene sentido todo esto tiene sentido geométricamente asà que algunas veces es interesante ver qué es lo que está pasando asà tengo estos dos este es un vector bajo el cual estamos parametrizado la superficie y al cambiar nuestros nuestra s por un cambio muy pequeño obtenemos un vector que también se mueve sobre la superficie e igualmente cuando cambiamos t por un pequeño número asà que puede que no recuerdes muy bien esto lo he hecho en muchos vÃdeos pero lo que yo quiero ahora es calcular la magnitud del producto cruz de estos dos vectores y y cuando tengo la magnitud del vector resultante de tomar el producto cruz obtiene uno primero obtiene un vector que es ortogonal a los otros dos verdad pero si tomamos la magnitud esto es igual al área del paralelogramo el área del paralelogramo d el área del paralelogramo definido por a ive ok que es lo que lo que estoy diciendo aquà bueno aquà tenemos este vector a tenemos este vector b estos son los vectores a ive entonces cuando tomamos el producto cruz de este par vamos a obtener un tercer vector y éste es perpendicular a ambos es digamos como que se sale de la pantalla un poco este serÃa a cruz b pero la magnitud de este de este que tomamos el producto cruz lo que vamos a obtener de la magnitud de este vector es digamos la magnitud es qué tan grande es pero eso va a ser igual al área del paralelogramo definido por ahà ve y ya hemos probado en otros vÃdeos de álgebra lineal quizás lo pruebe aquà de nuevo bueno bueno no no quiero entrar en mucho detalle pero ya lo he hecho antes no quiero hacer este vÃdeo más largo asà que el paralelogramo definido por ahà ve digamos si aquà ponen se imaginan que ponen aquà una copia de a una copia idea y aquà una copia debe digamos asà sobrepuestos este paralelogramo definido por ahà ve baja si si regresamos al ejemplo de la superficie y fuéramos a tomar el producto cruz de este vector naranja y el blanco entonces tendremos el área de un de un cachito de un paralelogramo es digamos cercano a la superficie verdad entonces este paralelogramo al al naranja y al blanco se verÃa algo asà verdad si tomo el producto cruz de ambos eso es vamos a obtener el área de este paralelogramo ahora ustedes pueden decir que que esta superficie lo estamos construyendo con paralelo gramos de cambios muy pequeñitos verdad estamos haciendo paralelo gramos infinitamente pequeños o tenemos una infinidad de paralelo gramos muy pequeños infinitamente pequeños asà que esto a lo mejor es medio raro pero hemos aproximado ya el área debajo de las curvas verdad con un buen de rectángulos y de hecho con rectángulos infinitamente pequeños asà que este va a ser un pequeño cambio en la superficie de la misma forma que lo hicimos con curvas y lo vamos a llamar de sigma por un pequeño cambio en la superficie y ahora vamos a tomar una infinita suma de infinitas de sig más pequeñas verdad asà que la superficie la superficie digamos el área de la superficie va a ser igual a la integral sobre toda la superficie d asà es como denotamos la superficie con una sigma verdad entonces una superficie es como una estructura bidimensional verdad y vamos a tomar todos los pequeños de sigma todas las pequeñas áreas de los paralelo gramos ahora que es una décima bueno ya hemos visto que la de sigma puede ser representada elba como el valor del área de esta pequeña parte verdad de la superficie de este paralelogramo representado por el producto cruz de estos dos vectores y digo aunque esto no es una matemática rigurosa el punto central aquà es es poder llegar a la integral de superficie asà que vamos a escribir de sigma igual al producto cruz vamos a hacer el producto cruz del vector naranja y tienen el vector naranja en realidad como vimos en el último vÃdeo lo que escribà en naranja era la parcial de r con respecto a se me está acabando se me están acabando los el espacio déjenme déjenme ponerlo asà la parcial de r respecto de ese de ese y en realidad no es sólo tomar el producto cruz porque el producto cruz es un vector y eso nos servirá para cuando queramos sacar integral de superficie para funciones de valores vectoriales sino que también hay que sacar la magnitud pero es la magnitud de quien de este de este vector cruz el vector blanco verdad que ya habÃamos dicho que era este la parcial de r respecto de tdt asà que es la parcial de r respecto de t dt y luego obtenemos la magnitud de eso y eso es lo que va a hacer a nuestro pequeño cambio en el área o el área del pequeño paralelogramo de aquà arriba verdad ahora pueden puede que a lo mejor no recuerden esto pero debe ser claro que cuando uno deriva de respecto de ese ode te siguen siendo vectores y cuando tenemos la derivada de ese y dt son numeritos y quizás no ya no lo recuerdes pero vimos en álgebra lineal que cuando tenemos el producto cruz y lo estamos multiplicando por escalares entonces podemos sacar los escalares fuera del producto verdad asà que esto será esto va a ser igual a la magnitud del producto cruz del producto cruz de la parcial de r respecto de ese cruz cruz la parcial de r respecto de t eso sacamos la magnitud y después multiplicamos por de ese y de t que son estos dos chicos no de ese i dt pero quienes dsi dt bueno aquà escribimos el área que es tomar la suma de todos estos pequeños de sigma si por supuesto no hay forma de evaluar de evaluarlos pero si sabemos que son esta misma cosa y tomamos todos los de ese si de test de ese porte pues es un área en esta en esta región de los parámetros verdad en el plano etc asà que si multiplicamos este producto por de este producto cruz de las parciales luego sacamos la magnitud y luego tomamos estas pequeñas áreas de ese y dt pues entonces sumamos todos ok sumamos todos y cuando sumemos todo sobre toda la región entonces obtendremos todos los paralelo gramos de la superficie y obtendremos el área de la superficie asà que podemos escribir ya ya un poquito más más centrado en este asunto espero que tenga mucho sentido y que puedan visualizarlo podemos decir que la integral de la superficie de los décimas de nuestros pequeños paralelogramo sobre la superficie va a ser igual en vez de tomar la suma sobre toda la superficie va a ser va a ser la suma sobre todos los peces y dt es verdad en esta región en el plan oeste de este producto cruz que ya sabemos cómo hacer verdad eso realmente es una integral doble asà que va a ser una integral doble sobre toda la región digamos del área a que eres la que tenemos acá arriba en la región de los parámetros está toda esa de esta cosa verdad que es la magnitud y que voy a escribir aquà en amarillo y luego escribir que es la magnitud de la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r respecto de t ajá de s dt que ya lo sabemos calcular verdad simplemente tenemos que ver cómo se comportan este producto cruz como evaluarlo y después esto realmente nos va a representar una integral de superficie muy fácil y que de hecho sabemos cómo calcular y en los próximos vÃdeos vamos a hacer algunos ejemplos ahora vamos a dar en estos vÃdeos el área de algunas superficies no asà que estas dos expresiones figuran lo que es el área de la superficie al sumar todos los pequeños paralelogramo que son como parches asociados con cada con cada pequeño paralelogramo ok tendremos algún valor definido para para para ello verdad ahora qué pasarÃa si yo tengo una función f x 10 e está definida en todas las superficies ok y queremos ver cómo cómo se comporta una integral respecto a esta función en este espacio tridimensional y bueno en realidad lo que vamos a obtener lo que queremos hacer es figurar nos qué pasa si si para cada uno de estos paralelo gramos fuéramos a multiplicarlo por el valor de la función en cada punto es decir lo podrÃamos escribir de esta forma verdad esto simplemente serÃa la integral déjenme poner otro color la integral bajan sobre toda la superficie de f de x y z de sigma ok y esto serÃa simplemente igual a esto que tenemos es escrito acá arriba pero multiplicado por una f de este lado entonces vamos a integrar sobre todo el área a muy bien de la región de fx iceta y esto multiplicado por la magnitud de la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r respecto de t tomamos la magnitud de eso y multiplicamos por de s dt muy bien y por supuesto estamos integrando con respecto a de aceite y esperamos que podamos expresar esta función en términos de aceite debido a la parametrización verdad cada una x 6 z son funciones de s&p asà que evaluado en la función pues simplemente nos da una función de aceite es pérez las visualizaciones de esto no son muy claras de hecho tiene aplicaciones en fÃsica es más fácil ver el área de la superficie asà que lo que vamos a hacer en los próximos vÃdeos es un poquito medio peludo para calcular pero no es tan difÃcil vamos a ver unos ejemplos y lidiar con ello.
integrales de superficie 2021